Родился 28 ноября 1906 г. в семье рабочего в деревне Лужки Ковровского уезда (в настоящее время деревня не существует, сейчас это территория Камешковского района). Отец будущего героя, Николай Тимофеевич, работал на ткацкой фабрике в местечке Сергеиха. Мать, Анастасия Кондратьевна, вела домашнее хозяйство. В начале 1920-х годов Александр вместе с семьей переехал в Собинку, где в 1925 г. окончил школу фабрично-заводского ученичества. После этого он продолжил учебу во Владимирском энергомеханическом техникуме, который успешно окончил в 1930 году.
По окончании учебы Александр Евдокимов был направлен в город Шую на завод имени М. В. Фрунзе, где работал техником, мастером, начальником цеха, начальником отдела. Тогда же три года заочно он учился в Промышленной академии им. Кагановича в Москве, а после закрытия академии в 1940 г. вернулся на завод. Был секретарем партийной организации шуйского завода.
В феврале 1942 г. Евдокимов был призван в Красную Армию. Окончил Ивановское военно-политическое училище. На фронтах Великой Отечественной войны с ноября 1942 года. Был заместителем командира роты по политчасти, парторгом батальона. Воевал на Юго-Западном, 3-м Украинском и 1-м Белорусском фронтах. Почти весь боевой путь от прошел в составе 170-го гвардейского стрелкового полка 57-й гвардейской Новобугской стрелковой дивизии.
Гвардии лейтенант Евдокимов отличился в боях при форсировании рек Западный Буг и Висла.
20 июля 1944 г., находясь в боевых порядках батальона, он успешно форсировал реку Западный Буг в районе западнее города Любомль (Волынская область, Украина). В боях за удержание и расширение плацдарма участвовал в отражении многочисленных атак противника, личным примером увлекая бойцов на выполнение боевой задачи.
1 августа 1944 г. при форсировании реки Висла лодка, на которой старшим был лейтенант Евдокимов, одной из первых пристала к вражескому берегу. Гвардейцы с ходу вступили в бой. Евдокимов, увлекая за собой бойцов, одним из первых ворвался в траншею противника. В рукопашной схватке замполит лично уничтожил шесть гитлеровцев. В ходе ожесточенных боев за удержание плацдарма его гвардейцы отразили несколько контратак противника. Когда во время атаки был убит пулеметчик, замполит Евдокимов заменил его, и огнем отразил натиск фашистов. На третий день боев выбыл из строя командир батальона и Евдокимов заступил на его место. Под его командованием бойцы не только отбили несколько немецких контратак, но и расширили плацдарм.
На 9-й день пребывания на плацдарме Евдокимов был ранен осколками мины в грудь. Один осколок попал в левый желудочек сердца. Врачи не решались на операцию и не надеялись на благоприятный исход. Но могучий организм поборол смерть, а осколок так и остался в сердце офицера на всю жизнь. После ранения он вернулся в строй и продолжал громить фашистов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за мужество, инициативу и умелое управление боевыми действиями подразделения в период форсирования Вислы гвардии лейтенанту Евдокимову Александру Николаевичу было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В составе 66-го гвардейского механизированного полка 20-й гвардейской механизированной дивизии капитан Евдокимов принимал участие в форсировании Одера и в штурме Берлина. В своих воспоминаниях маршал Чуйков писал: «В борьбе за Горбатый мост отличился парторг полка капитан Александр Николаевич Евдокимов. Пули будто не брали его. В числе первых он перебежал через мост, а затем дважды возвращался обратно, увлекая за собой воинов полка».
А. Н. Евдокимов был награжден орденом Ленина, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, медалями.
После окончания войны, в 1946 г. капитан Евдокимов был уволен в запас и вернулся в город Шую, на завод имени Фрунзе, с которого ушел на фронт. В 1949 г. он окончил Ивановскую областную партшколу и стал жить в Иваново. До выхода на пенсию работал на заводе «Ивтекмаш» начальником сборочного цеха, экспериментального цеха, затем – начальником бюро технического контроля этого цеха.
Александр Николаевич Евдокимов скончался 10 ноября 1990 года. Похоронен на Богородском (сельском) кладбище города Иваново.
Мемориальные доски в память Героя установлены на здании Вахромеевской средней школы (поселок имени Горького, Камешковский район), в городе Иваново, на доме где он жил, в городе Шуя на КПП механического завода. Его имя увековечено на мемориальной доске выпускникам Ивановского военно-политического училища. В городе Камешково Владимирской области установлен мемориал памяти у воинского обелиска.
Евдокимов Александр Николаевич. – Текст: электронный // Память народа : [сайт] / Министерство обороны Российской Федерации. – URL: https://pamyat-naroda.ru/heroes/podvig-chelovek_nagrazhdenie46761762/ (12.03.2020).
Евдокимов Александр Николаевич. – Текст: электронный // Иваново помнит : [сайт]. – URL: http://www.ivanovo1945.ru/bio/g021.html (12.03.2020).
Евдокимов Александр Николаевич // Твои Герои, земля Владимирская : очерки о Героях Советского Союза / Я. П. Москвитин, А. Ф. Нагорный. – Владимир : Посад, 2000. – С. 141-143.