Родился 12 (24) апреля 1893 г. во Владимире в семье ремесленника. Учился в приходской школе, городском четырехклассном училище и в 1912 г. закончил двухгодичные педагогические курсы.
В мае 1913 г. Л. С. Богданов поступил на службу в губернскую земскую управу. Дальнейший его жизненный путь в какой-то мере определило знакомство и совместная работа с известными библиографами А. В. Смирновым и И. Ф. Масановым. В эти годы он начал собирать материалы по истории Владимирской губернии. Сотрудничая в местных периодических изданиях: «Врачебно-санитарная хроника Владимирской губернии», «Владимирский земледелец», «Народное дело».
После Октября 1917 г. Леонид Семенович работал статистиком в губернском статистическом бюро. Эта работа позволяла ему много ездить по губернии, наблюдая и изучая местные промыслы, хозяйство, историю.
В 1921 г. Л. С. Богданов был избран секретарем созданного во Владимирской губернии научного общества по изучению местного края. Одновременно он был членом-корреспондентом центрального бюро краеведения РСФСР.
В 1926 г. вышла первая крупная работа библиографической секции общества «Библиография Владимирской губернии. Экономика и хозяйство», одним из авторов которой был Л. С. Богданов. Он принимал участие в составлении «Библиографического указателя печатных произведений, материалов и документов, вышедших во Владимирской губернии в 1917-1927 гг.»
Л. С. Богдановым публиковались материалы по истории Владимирской губернии о пребывании А. И. Герцена во Владимире, о театральной жизни губернии. Многие годы он работал над библиографическим словарем писателей и ученых края. Но словарь так и остался в рукописи.
Л. С. Богданов умер 5 августа 1973 г. Похоронен на Байгушском кладбище.
Его библиотека и коллекция экслибрисов были переданы в областную научную библиотеку им. Горького, а рукописи - в Государственный архив Владимирской области.
В 2021 году библиотекой был издан «Каталог коллекции краеведа Л. С. Богданова в фондах Владимирской областной научной библиотеки», включающий почти 3 тысячи библиографических описания на книжные издания XVIII–XХ вв., фотографии, открытки, карты, газетные вырезки и экслибрисы. Издание стало призёром II Всероссийского конкурса краеведческих изданий библиотек «Авторский знак» в номинации «Краеведческие библиографические указатели».
Календарь знаменательных и памятных дат по Владимирской области на 1993 год. – Владимир, 1992. – С. 13-14.
С 10 по 30 апреля - выставка «Наследие краеведа» [Электронный ресурс] // Владимирская областная научная библиотека : [официальный сайт]. – Владимир, 2018. – URL: https://library.vladimir.ru/vystavki-2/s-10-po-30-aprelya-vystavka-nasledie-kraeveda-k-125-letiyu-so-dnya-rozhdeniya-l-s-bogdanova.html (20.02.2019).